X
تبلیغات
کارگاه ریاضی - مبنا

سه شنبه 1385/04/27

مبنا

 دستگاه های شمار

      براي مشخص كردن تعداد چيزها آن ها را مي شماريم. اين شمارش بايد در دستگاه مشخصي و در چهارچوب خاصی انجام گيرد. به طور معمول شمارش در دستگاه دهدهي انجام مي شود، يعني دستگاهي كه مبناي شمارش ر آن ۱۰ است. در اين دستگاه واحد هر مرتبه  ۱۰برابر واحد مرتبه ي قبلي است. مثلاً واحد مرتبه  هزارگان  ۱۰برابر واحد مرتبه ي صدگان است و واحد مرتبه ي صدگان۱۰برابر واحد مرتبه ي دهگان است و واحد مرتبه ي دهگان  ۱۰برابر واحد مرتبه ي يكان مي باشد.

اما آيا مي توان شمارش را به گونه اي ديگر نيز انجام داد ؟

 

    به مثال زير توجه كنيد:

مدير يك كارخانه ي ليوان سازي به انباردار خود دستور داد آمار تمام ليوان هاي موجود در انبار كارخانه را به او بدهد. در واحد بسته بندي اين كارخانه هر ۶ عدد ليوان را در يك بسته پلاستيكي و هر ۶ بسته را در يك كارتن و هر ۶ كارتن را در يك جعبه و بعد هر ۶ جعبه را در يك صندوق چوبي بزرگ قرار مي دهند. سپس صندوق ها را بار قطار كرده و براي مشتريان خود به شهرهاي دور و نزديك مي فرستند. انباردار براي شمارش تعداد ليوان ها جدولي را كه در اختيار داشت به صورت زير كامل كرد:

واحد

يكي

بسته

كارتن

جعبه

صندوق

تعداد

۲

۱

۴

۱

۵

او در گزارش خود تعداد ليوان هاي موجود را ۵۱۴۱۲ نوشت. اما وقتي تعجب مدير كارخانه را ديد ساعتي بعد آن را اصلاح كرد و تعداد ليوان ها را ۶۸۴۸ اعلام كرد .

آيا به نظر شما او دروغ گفته بود ؟

خير. او هر دو بار راست گفته بود ولي فراموش كرده بود كه روش شمارش ليوان ها را توضيح دهد. در مرتبه ي اول او تعداد ليوان ها را بر اساس چگونگي بسته بندي آن ها حساب كرده بود. در اين روش شمارش در مبناي ۶ انجام گرفته بود و او مي بايست تعداد ليوان ها را ۶(۵۱۴۱۲)  ثبت مي كرد. در مرتبه ي دوم او با توجه به اين كه مي دانست در هر بسته ۶ ليوان و در هر كارتن۶*۶ليوان و در هر جعبه ۶*۶*۶ ليوان و در هر صندوق ۶*۶*۶*۶ ليوان وجود دارد، جدول خود را به صورت زير كامل كرد :

واحد

يكي

بسته

۶تايي

كارتن

۳۶ تايي

جعبه

۲۱۶ تايي

صندوق

۱۲۹۶تايي

تعداد

۲

۶

 ۱*

۳۶

    ۴ *

۲۱۶

       ۱ *

۱۲۹۶

        ۵ *

۲

۶

۱۴۴

۲۱۶

۶۴۸۰

و سپس مجموع آن ها را به دست آورد :                  ۶۸۴۸ = ۲+ ۶ + ۱۴۴ + ۲۱۶ + ۶۴۸۰

 

اين عدد تعداد ليوان ها را در مبناي ۱۰ نشان مي دهد. پس :                ۶۸۴۸ =  ۶( ۵۱۴۱۲ )

سؤال :  در آمارگيري ماه بعد او تعداد ليوان ها را ۶( ۱۴۰۲۰ )  به دست آورد. به نظر شما او چه عددي را بايد در گزارش خود به مدير كارخانه بنويسد؟

 *       *       *       *       *

اگر بخواهيم عددي را كه در مبناي غير ۱۰ نوشته شده به مبناي ۱۰ ببريم. رقم هاي آن را در توان هاي مختلف مبنا ضرب مي كنيم و سپس مجموع آن ها را به دست  مي آوريم.

مثال۱ـ نمايش معمولي عدد  ۶( ۱۰۵۳) را بنويسيد .

   ۲۴۹= ۳+ (۶*۵) + ( ۳۶*۰) + ( ۲۱۶*۱) =  ۶( ۱۰۵۳)

 

مثال۲ـ نمايش ۵۳۲ را در مبناي ۶ به دست آوريد.

                                                             ۶( ۲۲۴۴) = ۵۳۲

      ·    اگر در مثال هاي بالا توجه كرده باشيد خواهيد ديد اگر عددي را از يك مبنا به مبناي كوچك تري ببريم نمايش ظاهري عدد بزرگ تر خواهد شد و اگر آن را در مبناي بزرگ تري بنويسيم نمايش ظاهري اش كوچك تر مي شود .

    ·    در هر مبنا از رقم هايي مي توان استفاده كرد كه از خود مبنا كوچك تر باشند. مثلاً در مبناي ۱۰ از رقم های ۰ تا ۹ ودر مبنای ۴ فقط از رقم های ۰ ، ۱ ، ۲ و ۳ استفاده می شود. 

سؤال: اگر شما ۱۴ سال سن داشته باشيد، سن شما در هر يك از مبناهاي ۲ تا ۹ برابر چند مي شود؟ در چه مبنايي سن شما بيش تر است ؟

مثال۳- بزرگ ترين و كوچك ترين اعداد سه رقمي در مبناي ۷ چه اعدادي هستند؟

در مبناي ۷ فقط مي توانيم رقم هاي ۰ تا ۶ را به كار ببريم. دو جواب داريم:

اگر بخواهيم از رقم هاي تكراري استفاده كنيم،عدد ۷(۶۶۶) بزرگ ترين و عدد۷(۱۰۰)  كوچك ترين عدد سه رقمي در مبناي ۷ هستند. ولي اگر از رقم هاي تكراري استفاده نكنيم، عدد۷(۶۵۴)  بزرگ ترين و عدد۷(۱۰۲) كوچك ترين عدد سه رقمي در مبناي ۷ هستند.

 

        ·          جمع

براي جمع چند عدد كه مبناي مساوي داشته باشند مانند اعداد در دستگاه دهدهي عمل مي كنيم. اعداد را از سمت راست زير هم مي نويسيم. ابتدا اعداد جايگاه اول را با هم جمع مي كنيم. اگر حاصل از مبنا كوچك تر باشد، آن را مي نويسيم و اگر برابر مبنا يا بزرگ تر از آن باشد، آن قدر مبنا و يا مضارب مبنا را از آن كم مي كنيم تا باقي مانده كوچك تر از مبنا شود. آن گاه باقي مانده را نوشته و به ازاي هر مبنايي كه از حاصل جمع كم كرديم در ستون سمت چپ يك واحد اضافه مي كنيم.

مثال۴- حاصل ۳(۲۱۲) + ۳(۲۱۰۱)  را به دست آوريد .

                                                                              ۱   ۱ 

۳(۲۱۰۱)

۳(۰۲۱۲) +

۳(۱۰۰۲۰)

        ·          تفريق

در تفريق دو عدد كه مبناي مساوي دارند بايد توجه داشت اگر رقم مفروق منه (رقم بالايي) از رقم مفروق كم تر باشد، از رقم سمت چپ آن يك واحد كم مي كنيم و به تعداد مبنا به آن رقم مفروق منه اضافه مي كنيم.

مثال ۵ـ حاصل ۵(۱۳۴) -  ۵(۳۲۴)  را به دست آوريد .

      ۷ ۲

۵(۳۲۴)

۵(۱۳۴) - 

۵( ۱۴۰)

مثال۶ـ نمايش عدد۴(۱۲۳)  را در مبناي۵ بنويسيد .

                                                                   ۲۷ = ۳ + (۴*۲) + (۱۶*۱) =۴(۱۲۳)

                                                                                                   ۵( ۱۰۲ ) = ۲۷

                                                                                           ۵( ۱۰۲ )  = ۴(۱۲۳)  

نوشته شده توسط علی قمی اویلی در 9:56 |  لینک ثابت   •